在数学领域中，行列式是一个非常重要的概念，广泛应用于线性代数、矩阵理论以及诸多工程和物理问题的解决过程中。行列式的展开定理是计算行列式值的一种核心方法，它通过将高阶行列式逐步降阶为低阶行列式来简化计算过程。

行列式展开定理通常以拉普拉斯定理的形式呈现，其基本思想是利用行列式的某一行或某一列进行展开，从而将其分解为若干个低阶行列式的组合。具体来说，对于一个n×n的方阵A，假设我们选择第i行作为展开对象，则该行列式的值可以表示为：

\[ \det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot M_{ij} \]

其中：

- \(a_{ij}\) 是矩阵A中第i行第j列的元素；

- \(M_{ij}\) 表示去掉第i行和第j列后剩余部分形成的(n-1)×(n-1)子矩阵的行列式；

- \((-1)^{i+j}\) 是交错符号因子，用于确定正负号。

类似地，也可以选择某一列作为展开对象，公式形式与上述类似，只是将行索引替换为列索引即可。

这种展开方式的优点在于能够显著降低计算复杂度。例如，在处理大型矩阵时，如果选取合适的行或列（通常选择包含较多零元素的一行或一列），可以极大减少需要计算的子行列式数量。此外，结合其他技巧如递归法或对角化方法，还可以进一步优化计算效率。

需要注意的是，在实际应用中，为了保证结果准确性，应当仔细检查每一步的符号变化，并确保所有必要的子行列式都被正确计算。同时，当遇到奇异矩阵（即行列式为零的情况）时，还需结合具体情况分析原因并采取相应措施。

总之，行列式展开定理不仅为我们提供了一种系统化的计算工具，还揭示了行列式背后深刻的数学结构。无论是在学术研究还是工程实践中，掌握这一定理都具有重要意义。