点乘（内积）

定义

点乘，也称内积或数量积，是两个向量相乘得到一个标量的结果。对于二维空间中的两个向量 \( \mathbf{a} = (a_1, a_2) \) 和 \( \mathbf{b} = (b_1, b_2) \)，其点乘公式为：

\[

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2

\]

在三维空间中，若 \( \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) \) 且 \( \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) \)，则点乘公式扩展为：

\[

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

\]

几何意义

点乘的结果可以用来表示两个向量之间的夹角余弦值。具体来说，设 \( \theta \) 为两向量之间的夹角，则有：

\[

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos\theta

\]

其中 \( |\mathbf{a}| \) 和 \( |\mathbf{b}| \) 分别表示向量 \( \mathbf{a} \) 和 \( \mathbf{b} \) 的模长。由此可以看出，当 \( \theta = 90^\circ \) 时，\( \cos\theta = 0 \)，即点乘结果为零，说明两向量正交；而当 \( \theta = 0^\circ \) 或 \( 180^\circ \) 时，点乘结果等于两向量模长的乘积或负乘积。

应用实例

点乘常用于判断两个向量的方向关系，例如在机器学习中的特征向量相似度计算、图像处理中的边缘检测等场景。

叉乘（外积）

定义

叉乘，也称为外积或向量积，是两个向量相乘得到一个新的向量。对于三维空间中的两个向量 \( \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) \) 和 \( \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) \)，其叉乘公式为：

\[

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

\]

这里 \( \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} \) 分别代表单位基向量。

几何意义

叉乘的结果是一个垂直于原两向量所在平面的新向量。其方向遵循右手定则：将右手拇指指向第一个向量 \( \mathbf{a} \) 的方向，食指指向第二个向量 \( \mathbf{b} \) 的方向，则中指所指的方向就是叉乘结果的方向。叉乘的模长表示以 \( \mathbf{a} \) 和 \( \mathbf{b} \) 为邻边的平行四边形面积：

\[

|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin\theta

\]

应用实例

叉乘在三维几何中有广泛应用，例如计算平面法向量、求解力矩问题以及确定物体旋转轴等。

区别总结

| 特性 | 点乘| 叉乘|

|--------------|-------------------------------|-------------------------------|

| 结果类型 | 标量 | 向量 |

| 运算规则 | 模长相乘再乘以夹角余弦| 模长相乘再乘以夹角正弦 |

| 方向特性 | 无方向 | 垂直于两向量构成的平面 |

| 用途举例 | 判断向量方向关系 | 计算面积或旋转轴|

通过上述分析可以看出，点乘和叉乘虽然都涉及向量运算，但它们的本质和应用场景完全不同。理解这两者的差异有助于我们更高效地解决实际问题。希望本文能帮助你对这两个概念有更加清晰的认识！