【怎么求开环传递函数的特征方程】在自动控制理论中，开环传递函数是分析系统稳定性、性能和响应的重要工具。而特征方程则是判断系统稳定性的关键依据。本文将总结如何求解开环传递函数的特征方程，并以表格形式进行归纳。
一、基本概念
- 开环传递函数（Open-loop Transfer Function）：表示系统输入与输出之间在未引入反馈时的传递关系，通常用 $ G(s) $ 表示。
- 特征方程（Characteristic Equation）：由系统的闭环传递函数分母为零所得到的方程，形式为 $ 1 + G(s)H(s) = 0 $，其中 $ H(s) $ 是反馈环节的传递函数。
二、求解步骤
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 确定系统的开环传递函数 $ G(s) $ 和反馈传递函数 $ H(s) $。 |
| 2 | 构建闭环传递函数 $ T(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)} $。 |
| 3 | 将分母设为零，即 $ 1 + G(s)H(s) = 0 $，这就是特征方程。 |
| 4 | 展开并整理该方程，使其成为标准多项式形式 $ a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_0 = 0 $。 |
三、举例说明
假设某系统的开环传递函数为：
$$
G(s) = \frac{K}{s(s+1)(s+2)}
$$
且反馈为单位负反馈，即 $ H(s) = 1 $。
则其特征方程为：
$$
1 + G(s)H(s) = 1 + \frac{K}{s(s+1)(s+2)} = 0
$$
两边同乘以 $ s(s+1)(s+2) $ 得：
$$
s(s+1)(s+2) + K = 0
$$
展开后为：
$$
s^3 + 3s^2 + 2s + K = 0
$$
这就是该系统的特征方程。
四、总结
| 内容 | 说明 |
| 开环传递函数 | 表示系统在无反馈情况下的输入输出关系 |
| 特征方程 | 由闭环传递函数的分母为零得到，用于判断系统稳定性 |
| 求解方法 | 通过 $ 1 + G(s)H(s) = 0 $ 推导出多项式方程 |
| 关键点 | 需要明确反馈结构，正确构建闭环表达式 |
通过以上步骤和方法，可以有效地求得开环传递函数对应的特征方程，为进一步分析系统的稳定性提供基础。
