【等比数列的通项公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数。这个常数称为“公比”，通常用字母 $ q $ 表示。等比数列在实际生活中有着广泛的应用，如银行利息计算、人口增长模型、放射性衰变等。
本文将对等比数列的基本概念和通项公式进行总结，并通过表格形式清晰展示相关知识点，帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
一、基本概念
1. 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比值都是同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。
2. 首项：数列的第一个数，记作 $ a_1 $。
3. 公比：相邻两项的比值，记作 $ q $，且 $ q \neq 0 $。
4. 通项公式：表示数列第 $ n $ 项的表达式。
二、通项公式
等比数列的第 $ n $ 项可以用以下公式表示：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
其中：
- $ a_n $ 是第 $ n $ 项；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ q $ 是公比；
- $ n $ 是项数（正整数）。
三、通项公式的应用
通过通项公式，可以快速求出等比数列中的任意一项，也可以判断某数是否为该数列中的项。
例如：
- 若 $ a_1 = 2 $，$ q = 3 $，则第 5 项为：
$$
a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162
$$
四、典型问题与解法对比
| 问题类型 | 问题描述 | 解法步骤 | 公式 |
| 已知首项和公比，求第n项 | 已知 $ a_1 = 5 $，$ q = 2 $，求第 6 项 | 代入公式 $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $ | $ a_6 = 5 \cdot 2^5 = 160 $ |
| 已知首项和某项，求公比 | 已知 $ a_1 = 3 $，$ a_4 = 81 $，求 $ q $ | 利用 $ a_4 = a_1 \cdot q^{3} $，解方程 | $ q = \sqrt[3]{\frac{81}{3}} = 3 $ |
| 判断某数是否为等比数列中的项 | 已知 $ a_1 = 2 $，$ q = 4 $，判断 128 是否是该数列的项 | 求 $ n $ 使得 $ 2 \cdot 4^{n-1} = 128 $ | $ n = 4 $，是第 4 项 |
五、总结
等比数列是数列中的一种特殊形式，其通项公式为：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
掌握这一公式，不仅可以快速求出数列中的任意一项，还能用于解决实际问题。通过表格形式的整理，能够更直观地理解不同问题的解题思路和方法。
希望本文能帮助你更好地理解和运用等比数列的相关知识。
