【基本不等式四个公式的推导】在数学中，基本不等式是解决许多代数和几何问题的重要工具。常见的四个基本不等式包括：均值不等式、柯西不等式、排序不等式和绝对值不等式。这些不等式不仅在理论上有重要意义，在实际应用中也具有广泛的用途。下面对这四个基本不等式进行简要总结，并通过表格形式展示其推导过程。

一、均值不等式（AM ≥ GM）

对于任意非负实数 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $，有

$$

\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}

$$

当且仅当 $ a_1 = a_2 = \cdots = a_n $ 时，等号成立。

推导思路：

- 利用数学归纳法或利用对数函数的凸性进行证明。

- 当 $ n=2 $ 时，即为 $ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} $，这是最基础的形式。

二、柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）

对于任意实数 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ 和 $ b_1, b_2, \ldots, b_n $，有

$$

(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2

$$

当且仅当 $ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n} $ 时，等号成立。

推导思路：

- 可以通过向量点积的性质进行证明。

- 或者构造二次函数并利用判别式大于等于零来推导。

三、排序不等式（Rearrangement Inequality）

设 $ a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n $，$ b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n $，则

$$

a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_{\sigma(1)} + a_2 b_{\sigma(2)} + \cdots + a_n b_{\sigma(n)} \geq a_1 b_n + a_2 b_{n-1} + \cdots + a_n b_1

$$

其中 $ \sigma $ 是 $ 1, 2, \ldots, n $ 的一个排列。

推导思路：

- 通过比较不同排列下的乘积和，说明同序排列的乘积和最大，逆序排列的最小。

- 适用于有序数组的乘积和分析。

四、绝对值不等式（Triangle Inequality）

对于任意实数 $ a $、$ b $，有

$$

$$

当且仅当 $ a $ 与 $ b $ 同号时，等号成立。

推导思路：

- 通过对 $