【第二题来啦】在本次考试中，第二题是考察学生对基础知识的掌握情况，同时也涉及到一定的逻辑分析能力。题目整体难度适中，但需要考生仔细审题，避免因粗心而失分。
本题主要考查的是对基本概念的理解和应用，包括但不限于公式运用、数据计算以及图表解读等方面。以下是针对该题目的详细解析与答案总结。
一、题目回顾
题目
> 已知某商品的销售量与价格之间的关系为：
> $ Q = 100 - 5P $
> 其中，$ Q $ 表示销售量（单位：件），$ P $ 表示价格（单位：元）。
> 若该商品的固定成本为 200 元，每件商品的变动成本为 10 元，求：
> （1）当价格为 10 元时，总利润是多少？
> （2）当价格为多少时，利润最大？
二、解题思路与答案
（1）当价格为 10 元时，总利润是多少？
根据公式 $ Q = 100 - 5P $，将 $ P = 10 $ 代入：
$$
Q = 100 - 5 \times 10 = 50 \text{ 件}
$$
销售收入为：
$$
\text{收入} = P \times Q = 10 \times 50 = 500 \text{ 元}
$$
总成本包括固定成本和变动成本：
$$
\text{总成本} = 200 + 10 \times 50 = 700 \text{ 元}
$$
因此，利润为：
$$
\text{利润} = 收入 - 成本 = 500 - 700 = -200 \text{ 元}
$$
即亏损 200 元。
（2）当价格为多少时，利润最大？
利润函数可以表示为：
$$
\text{利润} = (P \times Q) - (\text{固定成本} + \text{变动成本})
$$
将 $ Q = 100 - 5P $ 代入：
$$
\text{利润} = P(100 - 5P) - (200 + 10(100 - 5P))
$$
展开并化简：
$$
\text{利润} = 100P - 5P^2 - (200 + 1000 - 50P)
$$
$$
= 100P - 5P^2 - 1200 + 50P
$$
$$
= -5P^2 + 150P - 1200
$$
这是一个关于 $ P $ 的二次函数，开口向下，最大值出现在顶点处：
$$
P = \frac{-b}{2a} = \frac{-150}{2 \times (-5)} = 15
$$
所以，当价格为 15 元 时，利润最大。
三、总结表格
| 问题 | 答案 | 解析 |
| 当价格为 10 元时，总利润是多少？ | -200 元 | 销售量为 50 件，收入 500 元，总成本 700 元，利润为 -200 元 |
| 当价格为多少时，利润最大？ | 15 元 | 利润函数为 $ -5P^2 + 150P - 1200 $，顶点在 $ P = 15 $ |
通过以上分析可以看出，第二题虽然涉及基础数学知识，但在实际应用中仍需注意细节，尤其是对成本和收入的区分。希望同学们在今后的学习中加强这类题型的训练，提高解题准确率。
