【高中常用十个泰勒展开公式】在高中数学学习中，泰勒展开是一个重要的数学工具，尤其在函数近似、极限计算以及微分学中有广泛应用。虽然泰勒展开本身属于大学数学的内容，但在高中阶段，一些常见的函数的泰勒展开式已经被广泛使用。以下是高中阶段常用的十个泰勒展开公式，以加表格的形式呈现，便于理解和记忆。
一、
泰勒展开是一种将一个函数表示为无穷级数的方法，通常以某一点为中心展开。在高中阶段，我们主要关注的是在 $ x = 0 $ 处（即麦克劳林级数）的展开形式。这些展开式可以帮助我们更直观地理解函数的行为，特别是在接近原点时的近似值计算。
以下列出的十个泰勒展开公式是高中数学中较为常见且实用的，适用于多项式近似、极限求解和图像分析等场景。
二、表格：高中常用十个泰勒展开公式
| 序号 | 函数表达式 | 泰勒展开式（在 $ x = 0 $ 处） | ||
| 1 | $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots $ | ||
| 2 | $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots $ | ||
| 3 | $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots $ | ||
| 4 | $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} + \cdots $ (当 $ | x | < 1 $ ) |
| 5 | $ \arctan x $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + \cdots $ (当 $ | x | \leq 1 $ ) |
| 6 | $ \arcsin x $ | $ x + \frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{40}x^5 + \cdots $ （部分展开，较复杂） | ||
| 7 | $ \frac{1}{1-x} $ | $ 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n + \cdots $ (当 $ | x | < 1 $ ) |
| 8 | $ \frac{1}{1+x} $ | $ 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots + (-1)^n x^n + \cdots $ (当 $ | x | < 1 $ ) |
| 9 | $ \sqrt{1+x} $ | $ 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \cdots $ （二项式展开） | ||
| 10 | $ (1+x)^a $（$ a $ 为常数） | $ 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + \cdots $（二项式展开） |
三、小结
以上十个泰勒展开公式是高中数学中非常实用的工具，尤其在处理极限、近似计算和函数图像分析时具有重要作用。虽然它们的推导过程较为复杂，但掌握其基本形式有助于提高对函数行为的理解与应用能力。
建议在学习过程中结合具体例题进行练习，加深对这些展开式的理解与运用。
