【向量叉乘公式】向量叉乘是三维空间中两个向量之间的一种运算，其结果是一个与原两向量都垂直的向量。该运算在物理学、工程学和计算机图形学中有广泛应用，如计算力矩、求平面法向量等。
一、向量叉乘的基本概念
向量叉乘（Cross Product）通常用符号“×”表示，适用于三维向量。若给定两个向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的叉乘结果为一个向量 c = a × b，其方向由右手定则确定，大小等于两个向量所构成平行四边形的面积。
二、向量叉乘的公式
向量叉乘的计算公式如下：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
也可以写成：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)
$$
三、叉乘的性质
| 性质 | 描述 |
| 反交换性 | $ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a}) $ |
| 分配律 | $ \mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c} $ |
| 与标量相乘 | $ (k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) $ |
| 零向量 | 若 $ \mathbf{a} \parallel \mathbf{b} $，则 $ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0} $ |
四、叉乘的应用场景
| 应用领域 | 典型应用 |
| 物理学 | 计算力矩、磁力作用、角动量等 |
| 计算机图形学 | 计算法向量、判断点是否在平面内 |
| 工程力学 | 确定旋转轴、分析结构受力 |
| 数学 | 用于向量场的分析和三维几何建模 |
五、叉乘与点乘的区别
| 特征 | 向量叉乘 | 向量点乘 |
| 结果类型 | 向量 | 标量 |
| 几何意义 | 垂直于两向量的向量 | 两向量夹角的余弦值乘以模长积 |
| 运算符号 | × | · |
| 是否有方向 | 有 | 无 |
通过以上内容可以看出，向量叉乘不仅是数学中的一个重要工具，也在多个实际应用中发挥着关键作用。理解其公式和性质有助于更深入地掌握三维空间中的向量关系。
